Thực đơn
Lý_thuyết_nhiễu_loạn_(cơ_học_lượng_tử)
Lý thuyết nhiễu loạn độc lập thời gian là một trong hai loại lý thuyết nhiễu loạn, còn lại là nhiễu loạn phụ thuộc thời gian (xem phần tiếp theo). Trong lý thuyết nhiễu loạn độc lập thời gian, Hamiltonian nhiễu loạn là Hamiltonian dừng (nghĩa là không có sự phụ thuộc thời gian). Lý thuyết nhiễu loạn độc lập với thời gian đã được Erwin Schrödinger trình bày trong một bài báo năm 1926,[3] ngay sau khi ông đưa ra các lý thuyết của mình trong cơ học sóng. Trong bài báo này, Schrödinger đã đề cập đến công trình trước đây của Lord Rayleigh,[4] người đã nghiên cứu các dao động điều hòa của dây bị nhiễu loạn bởi tính không thuần nhất nhỏ. Đây là lý do tại sao lý thuyết nhiễu loạn này thường được gọi là lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh-Schrödinger.[5]
Ta bắt đầu [6] với Hamiltonian H0 không nhiễu loạn, cũng được cho là không có sự phụ thuộc thời gian. Các mức năng lượng và trạng thái riêng đã biết, xuất phát từ phương trình Schrödinger độc lập thời gian:
H 0 | n ( 0 ) ⟩ = E n ( 0 ) | n ( 0 ) ⟩ , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots }Để đơn giản, ta giả sử các năng lượng rời rạc. Chỉ số trên (0) kí hiệu các đại lượng được liên kết với hệ không nhiễu loạn. Chú ý việc sử dụng kí hiệu bra–ket.
Lúc này ta đưa ra nhiễu loạn cho Hamiltonian. Gọi V là một Hamiltonian đặc trưng cho tính nhiễu loạn nhỏ, như là thế năng được tạo bởi trường ngoài. (Do đó, V là một toán tử Hermite.) Gọi λ là tham số không thứ nguyên có thể lấy các giá trị từ 0 (không nhiễu loạn) đến 1 (nhiễu loạn đầy đủ). Hamiltonian nhiễu loạn là
H = H 0 + λ V {\displaystyle H=H_{0}+\lambda V}Các mức năng lượng và trạng thái riêng của Hamiltonian nhiễu loạn một lần nữa được cho bởi phương trình Schrödinger,
( H 0 + λ V ) | n ⟩ = E n | n ⟩ . {\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}Mục đích của ta là biểu diễn En và | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } theo các mức năng lượng và các trạng thái riêng của Hamiltonian cũ. Nếu nhiễu loạn là đủ yếu, ta có thể viết chúng như một chuỗi lũy thừa (Maclaurin) theo λ,
E n = E n ( 0 ) + λ E n ( 1 ) + λ 2 E n ( 2 ) + ⋯ | n ⟩ = | n ( 0 ) ⟩ + λ | n ( 1 ) ⟩ + λ 2 | n ( 2 ) ⟩ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}}trong đó
E n ( k ) = 1 k ! d k E n d λ k | λ = 0 | n ( k ) ⟩ = 1 k ! d k | n ⟩ d λ k | λ = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}{\bigg |}_{\lambda =0}\\\left|n^{(k)}\right\rangle &={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}{\bigg |}_{\lambda =0.}\end{aligned}}}Khi k = 0, chúng rút gọn thành các giá trị không nhiễu loạn, là số hạng đầu tiên trong mỗi chuỗi. Do nhiễu loạn yếu, các mức năng lượng và trạng thái riêng không nên lệch quá nhiều so với các giá trị không nhiễu loạn của chúng, và các số hạng trở nên nhỏ nhanh hơn khi ta xét đến bậc cao hơn
Thay khai triển chuỗi lũy thừa vào phương trình Schrödinger, ta thu được
( H 0 + λ V ) ( | n ( 0 ) ⟩ + λ | n ( 1 ) ⟩ + ⋯ ) = ( E n ( 0 ) + λ E n ( 1 ) + ⋯ ) ( | n ( 0 ) ⟩ + λ | n ( 1 ) ⟩ + ⋯ ) . {\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right).} |
Khai triển phương trình này và so sánh các hệ số của mỗi λ dẫn ra trong chuỗi vô hạn các phương trình đồng thời. Phương trình bậc không đơn giản là phương trình Schrödinger cho hệ không nhiễu loạn.
Phương trình bậc một là
H 0 | n ( 1 ) ⟩ + V | n ( 0 ) ⟩ = E n ( 0 ) | n ( 1 ) ⟩ + E n ( 1 ) | n ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle .}Tính toán thông qua ⟨ n ( 0 ) | {\displaystyle \langle n^{(0)}|} , số hạng đầu tiên ở vế trái triệt tiêu với số hạng đầu tiên ở vế phải. (Nhớ lại, Hamiltonian không nhiễu loạn là Hermite). Điều này dẫn đến sự dịch năng lượng bậc một,
E n ( 1 ) = ⟨ n ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .}Đây chỉ đơn giản là giá trị kỳ vọng của Hamiltonian nhiễu loạn trong khi hệ ở trạng thái không nhiễu loạn.
Kết quả này có thể được diễn giải theo cách sau: giả sử nhiễu loạn được áp dụng, nhưng ta giữ cho hệ ở trạng thái lượng tử | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } , đó là một trạng thái lượng tử chân không mặc dù không còn là một trạng thái riêng có năng lượng. Sự nhiễu loạn làm cho năng lượng trung bình của trạng thái này tăng lên ⟨ n ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } . Tuy nhiên, độ dịch năng lượng thực sự hơi khác nhau một chút, bởi vì trạng thái riêng nhiễu loạn không hoàn toàn giống như | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } . Những độ dịch tiếp theo được đưa ra bởi sự điều chỉnh bậc hai và các bậc cao hơn đối với năng lượng.
Trước khi ta tính toán các hiệu chỉnh trạng thái riêng có năng lượng, ta cần giải quyết vấn đề chuẩn hóa. Ta có thể cho
⟨ n ( 0 ) | n ( 0 ) ⟩ = 1 , {\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =1,}nhưng lý thuyết nhiễu loạn cho rằng chúng ta cũng có ⟨ n | n ⟩ = 1 {\displaystyle \langle n|n\rangle =1} .
Do đó tại bậc đầu tiên theo λ, ta phải có
( ⟨ n ( 0 ) | + λ ⟨ n ( 1 ) | ) ( | n ( 0 ) ⟩ + λ | n ( 1 ) ⟩ ) = 1 {\displaystyle \left(\left\langle n^{(0)}\right|+\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle \right)=1} ⟨ n ( 0 ) | n ( 0 ) ⟩ + λ ⟨ n ( 0 ) | n ( 1 ) ⟩ + λ ⟨ n ( 1 ) | n ( 0 ) ⟩ + λ 2 ⟨ n ( 1 ) | n ( 1 ) ⟩ = 1 {\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +{\cancel {\lambda ^{2}\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle }}=1} ⟨ n ( 0 ) | n ( 1 ) ⟩ + ⟨ n ( 1 ) | n ( 0 ) ⟩ = 0. {\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =0.}Vì pha tổng thể không được xác định trong cơ học lượng tử, mà không mất tính tổng quát, nên theo lý thuyết độc lập thời gian, ta có thể giả định ⟨ n ( 0 ) | n ( 1 ) ⟩ {\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle } là hoàn toàn có thật. Vì thế,
⟨ n ( 0 ) | n ( 1 ) ⟩ = ⟨ n ( 1 ) | n ( 0 ) ⟩ , {\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle ,}dẫn tới
Để thu được hiệu chỉnh bậc một với trạng thái riêng có năng lượng, ta chèn biểu thức của ta cho hiệu chỉnh năng lượng bậc một vào lại kết quả được chỉ ra ở trên tương đương hệ số bậc nhất của λ. Sau đó ta sử dụng phân giải đồng nhất,
V | n ( 0 ) ⟩ = ( ∑ k ≠ n | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | ) V | n ( 0 ) ⟩ + ( | n ( 0 ) ⟩ ⟨ n ( 0 ) | ) V | n ( 0 ) ⟩ = ∑ k ≠ n | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ + E n ( 1 ) | n ( 0 ) ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}V\left|n^{(0)}\right\rangle &=\left(\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle +\left(\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\end{aligned}}}trong đó | k ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |k^{(0)}\rangle } nằm trong phần bù trực giao của | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } .
Phương trình bậc nhất có thể được biểu diễn như
( E n ( 0 ) − H 0 ) | n ( 1 ) ⟩ = ∑ k ≠ n | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .}Hiện tại, giả sử rằng mức năng lượng bậc không không có suy biến, tức là không có trạng thái riêng của H0 trong phần bù trực giao của | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } với năng lượng E n ( 0 ) {\displaystyle E_{n}^{(0)}} . Sau khi đổi tên chỉ số ở trên là k ′ {\displaystyle k'} , ta có thể chọn bất kỳ k ≠ n {\displaystyle k\neq n} và nhân với ⟨ k ( 0 ) | {\displaystyle \langle k^{(0)}|}
( E n ( 0 ) − E k ( 0 ) ) ⟨ k ( 0 ) | n ( 1 ) ⟩ = ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left\langle k^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .}Ta thấy rằng ⟨ k ( 0 ) | n ( 1 ) ⟩ {\displaystyle \langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle } ở trên cũng cung cấp cho ta thành phần của hiệu chỉnh bậc một cùng | k ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |k^{(0)}\rangle } .
Như vậy, ta nhận được,
| n ( 1 ) ⟩ = ∑ k ≠ n ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ E n ( 0 ) − E k ( 0 ) | k ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle \left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\left|k^{(0)}\right\rangle .}Sự thay đổi bậc một trong ket riêng năng lượng thứ n có sự đóng góp từ mỗi trạng thái riêng năng lượng k ≠ n. Mỗi số hạng tỷ lệ với yếu tố ma trận ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } , đó là thước đo mức độ nhiễu loạn trộn trạng thái riêng n với trạng thái riêng k; nó cũng tỷ lệ nghịch với hiệu năng lượng giữa các trạng thái riêng k và n, điều này có nghĩa là sự nhiễu loạn làm biến dạng trạng thái riêng ở một mức độ lớn hơn nếu có nhiều trạng thái riêng ở các năng lượng gần đó. Ta cũng thấy rằng biểu thức là kì dị nếu bất kỳ trạng thái nào trong số này có cùng năng lượng với trạng thái n, đó là lý do tại sao ta cho rằng không có sự suy biến.
Ta có thể tìm thấy độ lệch bậc cao hơn bằng một quy trình tương tự, mặc dù các phép tính trở nên khá phức tạp với công thức hiện tại của ta. Sự chuẩn hóa đưa ra
2 ⟨ n ( 0 ) | n ( 2 ) ⟩ + ⟨ n ( 1 ) | n ( 1 ) ⟩ = 0. {\displaystyle 2\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.}Lên đến bậc hai, các biểu thức cho năng lượng và các trạng thái riêng (chuẩn hóa) là:
E n ( λ ) = E n ( 0 ) + λ ⟨ n ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ + λ 2 ∑ k ≠ n | ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ | 2 E n ( 0 ) − E k ( 0 ) + O ( λ 3 ) {\displaystyle E_{n}(\lambda )=E_{n}^{(0)}+\lambda \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {\left|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})} | n ( λ ) ⟩ = | n ( 0 ) ⟩ + λ ∑ k ≠ n | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ E n ( 0 ) − E k ( 0 ) + λ 2 ∑ k ≠ n ∑ ℓ ≠ n | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | ℓ ( 0 ) ⟩ ⟨ ℓ ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ ( E n ( 0 ) − E k ( 0 ) ) ( E n ( 0 ) − E ℓ ( 0 ) ) − λ 2 ∑ k ≠ n | k ( 0 ) ⟩ ⟨ n ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ ( E n ( 0 ) − E k ( 0 ) ) 2 − 1 2 λ 2 | n ( 0 ) ⟩ ∑ k ≠ n ⟨ n ( 0 ) | V | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ ( E n ( 0 ) − E k ( 0 ) ) 2 + O ( λ 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}|n(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle n^{(0)}\right|V\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}}Mở rộng quá trình hơn nữa, hiệu chỉnh năng lượng bậc ba có thể được hiển thị là [7]
E n ( 3 ) = ∑ k ≠ n ∑ m ≠ n ⟨ n ( 0 ) | V | m ( 0 ) ⟩ ⟨ m ( 0 ) | V | k ( 0 ) ⟩ ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ ( E n ( 0 ) − E m ( 0 ) ) ( E n ( 0 ) − E k ( 0 ) ) − ⟨ n ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ ∑ m ≠ n | ⟨ n ( 0 ) | V | m ( 0 ) ⟩ | 2 ( E n ( 0 ) − E m ( 0 ) ) 2 . {\displaystyle E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}}.}Nếu ta đưa ra kí hiệu,
V n m ≡ ⟨ n ( 0 ) | V | m ( 0 ) ⟩ {\displaystyle V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle } , E n m ≡ E n ( 0 ) − E m ( 0 ) {\displaystyle E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}} ,khi đó các hiệu chỉnh năng lượng đến bậc 5 có thể được viết
E n ( 1 ) = V n n E n ( 2 ) = | V n k 2 | 2 E n k 2 E n ( 3 ) = V n k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 − V n n | V n k 3 | 2 E n k 3 2 E n ( 4 ) = V n k 4 V k 4 k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 E n k 4 − | V n k 4 | 2 E n k 4 2 | V n k 2 | 2 E n k 2 − V n n V n k 4 V k 4 k 3 V k 3 n E n k 3 2 E n k 4 − V n n V n k 4 V k 4 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 4 2 + V n n 2 | V n k 4 | 2 E n k 4 3 = V n k 4 V k 4 k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 E n k 4 − E n ( 2 ) | V n k 4 | 2 E n k 4 2 − 2 V n n V n k 4 V k 4 k 3 V k 3 n E n k 3 2 E n k 4 + V n n 2 | V n k 4 | 2 E n k 4 3 E n ( 5 ) = V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 E n k 4 E n k 5 − V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 n E n k 4 2 E n k 5 | V n k 2 | 2 E n k 2 − V n k 5 V k 5 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 5 2 | V n k 2 | 2 E n k 2 − | V n k 5 | 2 E n k 5 2 V n k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 − V n n V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 k 3 V k 3 n E n k 3 2 E n k 4 E n k 5 − V n n V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 4 2 E n k 5 − V n n V n k 5 V k 5 k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 E n k 5 2 + V n n | V n k 5 | 2 E n k 5 2 | V n k 3 | 2 E n k 3 2 + 2 V n n | V n k 5 | 2 E n k 5 3 | V n k 2 | 2 E n k 2 + V n n 2 V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 n E n k 4 3 E n k 5 + V n n 2 V n k 5 V k 5 k 3 V k 3 n E n k 3 2 E n k 5 2 + V n n 2 V n k 5 V k 5 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 5 3 − V n n 3 | V n k 5 | 2 E n k 5 4 = V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 E n k 4 E n k 5 − 2 E n ( 2 ) V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 n E n k 4 2 E n k 5 − | V n k 5 | 2 E n k 5 2 V n k 3 V k 3 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 3 − 2 V n n ( V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 k 3 V k 3 n E n k 3 2 E n k 4 E n k 5 − V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 k 2 V k 2 n E n k 2 E n k 4 2 E n k 5 + | V n k 5 | 2 E n k 5 2 | V n k 3 | 2 E n k 3 2 + 2 E n ( 2 ) | V n k 5 | 2 E n k 5 3 ) + V n n 2 ( 2 V n k 5 V k 5 k 4 V k 4 n E n k 4 3 E n k 5 + V n k 5 V k 5 k 3 V k 3 n E n k 3 2 E n k 5 2 ) − V n n 3 | V n k 5 | 2 E n k 5 4 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=V_{nn}\\E_{n}^{(2)}&={\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\E_{n}^{(3)}&={\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}-V_{nn}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}\\E_{n}^{(4)}&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}-2V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\E_{n}^{(5)}&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad -V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\&\quad +V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{3}}}-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\\&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-2E_{n}^{(2)}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad -2V_{nn}\left({\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}+{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}\right)\\&\quad +V_{nn}^{2}\left(2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}\right)-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\end{aligned}}}và các trạng thái đến bậc 4 có thể được viết
| n ( 1 ) ⟩ = V k 1 n E n k 1 | k 1 ( 0 ) ⟩ | n ( 2 ) ⟩ = ( V k 1 k 2 V k 2 n E n k 1 E n k 2 − V n n V k 1 n E n k 1 2 ) | k 1 ( 0 ) ⟩ − 1 2 V n k 1 V k 1 n E k 1 n 2 | n ( 0 ) ⟩ | n ( 3 ) ⟩ = [ − V k 1 k 2 V k 2 k 3 V k 3 n E k 1 n E n k 2 E n k 3 + V n n V k 1 k 2 V k 2 n E k 1 n E n k 2 ( 1 E n k 1 + 1 E n k 2 ) − | V n n | 2 V k 1 n E k 1 n 3 + | V n k 2 | 2 V k 1 n E k 1 n E n k 2 ( 1 E n k 1 + 1 2 E n k 2 ) ] | k 1 ( 0 ) ⟩ + [ − V n k 2 V k 2 k 1 V k 1 n + V k 2 n V k 1 k 2 V n k 1 2 E n k 2 2 E n k 1 + | V n k 1 | 2 V n n E n k 1 3 ] | n ( 0 ) ⟩ | n ( 4 ) ⟩ = [ V k 1 k 2 V k 2 k 3 V k 3 k 4 V k 4 k 2 + V k 3 k 2 V k 1 k 2 V k 4 k 3 V k 2 k 4 2 E k 1 n E k 2 k 3 2 E k 2 k 4 − V k 2 k 3 V k 3 k 4 V k 4 n V k 1 k 2 E k 1 n E k 2 n E n k 3 E n k 4 + V k 1 k 2 E k 1 n ( | V k 2 k 3 | 2 V k 2 k 2 E k 2 k 3 3 − | V n k 3 | 2 V k 2 n E k 3 n 2 E k 2 n ) + V n n V k 1 k 2 V k 3 n V k 2 k 3 E k 1 n E n k 3 E k 2 n ( 1 E n k 3 + 1 E k 2 n + 1 E k 1 n ) + | V k 2 n | 2 V k 1 k 3 E n k 2 E k 1 n ( V k 3 n E n k 1 E n k 3 − V k 3 k 1 E k 3 k 1 2 ) − V n n ( V k 3 k 2 V k 1 k 3 V k 2 k 1 + V k 3 k 1 V k 2 k 3 V k 1 k 2 ) 2 E k 1 n E k 1 k 3 2 E k 1 k 2 + | V n n | 2 E k 1 n ( V k 1 n V n n E k 1 n 3 + V k 1 k 2 V k 2 n E k 2 n 3 ) − | V k 1 k 2 | 2 V n n V k 1 n E k 1 n E k 1 k 2 3 ] | k 1 ( 0 ) ⟩ + 1 2 [ V n k 1 V k 1 k 2 E n k 1 E k 2 n 2 ( V k 2 n V n n E k 2 n − V k 2 k 3 V k 3 n E n k 3 ) − V k 1 n V k 2 k 1 E k 1 n 2 E n k 2 ( V k 3 k 2 V n k 3 E n k 3 + V n n V n k 2 E n k 2 ) + | V n k 1 | 2 E k 1 n 2 ( 3 | V n k 2 | 2 4 E k 2 n 2 − 2 | V n n | 2 E k 1 n 2 ) − V k 2 k 3 V k 3 k 1 | V n k 1 | 2 E n k 3 2 E n k 1 E n k 2 ] | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}|n^{(1)}\rangle &={\frac {V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}}}|k_{1}^{(0)}\rangle \\|n^{(2)}\rangle &=\left({\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}^{2}}}\right)|k_{1}^{(0)}\rangle -{\frac {1}{2}}{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{2}}}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(3)}\rangle &={\Bigg [}-{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{E_{nk_{2}}}}\right)-{\frac {|V_{nn}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{2E_{nk_{2}}}}\right){\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle \\&\quad +{\Bigg [}-{\frac {V_{nk_{2}}V_{k_{2}k_{1}}V_{k_{1}n}+V_{k_{2}n}V_{k_{1}k_{2}}V_{nk_{1}}}{2E_{nk_{2}}^{2}E_{nk_{1}}}}+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}V_{nn}}{E_{nk_{1}}^{3}}}{\Bigg ]}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(4)}\rangle &={\Bigg [}{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}+V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{2}k_{4}}}{2E_{k_{1}n}E_{k_{2}k_{3}}^{2}E_{k_{2}k_{4}}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}n}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}E_{k_{2}n}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {|V_{k_{2}k_{3}}|^{2}V_{k_{2}k_{2}}}{E_{k_{2}k_{3}}^{3}}}-{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}V_{k_{2}n}}{E_{k_{3}n}^{2}E_{k_{2}n}}}\right)\\&\quad +{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{3}n}V_{k_{2}k_{3}}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{3}}E_{k_{2}n}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {1}{E_{k_{2}n}}}+{\frac {1}{E_{k_{1}n}}}\right)+{\frac {|V_{k_{2}n}|^{2}V_{k_{1}k_{3}}}{E_{nk_{2}}E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{3}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{3}}}}-{\frac {V_{k_{3}k_{1}}}{E_{k_{3}k_{1}}^{2}}}\right)-{\frac {V_{nn}\left(V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{3}}V_{k_{2}k_{1}}+V_{k_{3}k_{1}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{1}k_{2}}\right)}{2E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{3}}^{2}E_{k_{1}k_{2}}}}\\&\quad +{\frac {|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{1}n}V_{nn}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{2}n}^{3}}}\right)-{\frac {|V_{k_{1}k_{2}}|^{2}V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{2}}^{3}}}{\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle +{\frac {1}{2}}\left[{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{nk_{1}}E_{k_{2}n}^{2}}}\left({\frac {V_{k_{2}n}V_{nn}}{E_{k_{2}n}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}}}\right)\right.\\&\quad \left.-{\frac {V_{k_{1}n}V_{k_{2}k_{1}}}{E_{k_{1}n}^{2}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {V_{k_{3}k_{2}}V_{nk_{3}}}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{nk_{2}}}{E_{nk_{2}}}}\right)+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\left({\frac {3|V_{nk_{2}}|^{2}}{4E_{k_{2}n}^{2}}}-{\frac {2|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\right)-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{1}}|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}\right]|n^{(0)}\rangle \end{aligned}}} Tất cả các số hạng kj được lấy tổng theo kj sao cho mẫu số bị khử.Thực đơn
Lý_thuyết_nhiễu_loạn_(cơ_học_lượng_tử)Liên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Lý_thuyết_nhiễu_loạn_(cơ_học_lượng_tử)